微分 | ZQQ's docs

定义 #

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $x_0+\Delta x$ 在该邻域内，对于函数增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)−f(x_0)$，若存在与$\Delta x$ 无关的常数 $A$，使得$\Delta y = A \Delta x+ o(\Delta x)$，
其中 $o(\Delta x)$ 是在 $\Delta x \to 0$ 时比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小，则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，
并把增量的主要部分 $A \Delta x$ 称为线性主部，也叫作 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分，通常把自变量 $x$ 的增量 $\Delta x$ 称为自变量的微分，记作 $dx$，即 $dx=\Delta x$

函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可微与可导是等价的，且 $A=f’(x_0)$，微分又可记作 $dy|_{x=x_0}=f'(x_0)dx$，即微分等于导数乘以自变量的微分，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的，因此，导数也叫做微商

微分的几何意义：函数曲线在该点处的切线段的长度，局部用切线段近似代替曲线段。

计算：对函数求导，乘以自变量的微分dx，微分法则参看之前的求导公式

可微、可导、连续三者之间的关系
可微 $\iff$ 可导
可导 $\implies$ 连续，连续不一定可导，比如 $y=|x|$

证明过程：

\[ \begin{aligned} & 设\lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = A ，那么 \\ & \\ & \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x-x_0) = A\cdot0 = 0 \\ & \therefore \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)，函数在点x_0处连续 \end{aligned} \]

微分中值定理 #

“微分中值”通常是在说，一个函数连续且可导的区间，这个区间可以找到至少一点，在这一点上的导数（微分）可以代表或者概括这个区间上函数整体平均的变化趋势。

费马引理 #

理解为极值点可导，导数为0；可导的极值点一定是驻点

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对 $\forall x \in U(x_0)$，有 $f(x) \le f(x_0)$(或 $f(x) \ge f(x_0)$)，则$f'(x_0) = 0$

证明：

\[ \begin{align*} & 设 x \in U(x_0)，有 f(x) \le f(x_0)，对于x_0 + \Delta x \in U(x_0)，有 f(x_0 + \Delta x) \le f(x_0) \\ & \Delta x > 0时, \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \le 0 \\ & \Delta x < 0时, \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \ge 0 \\ & f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \le 0 \\ & f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \ge 0 \\ & f(x)在x_0处可导，所以 f'_+(x_0) = f'_-(x_0)，f'(x_0) = 0 \end{align*} \]

罗尔中值定理 #

函数在两个端点处值相等，不论如何增减，显然都会存在至少一个极值点；几何意义：弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。

设函数 $f(x)$ 满足：

闭区间 $[a,b]$ 连续；
开区间 $(a,b)$ 可导；
$f(a) = f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi) = 0$

证明： 函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 $M$ 和 $m$ 表示

若 $m=M$，$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上为常函数，满足
若 $M>m$，因为 $f(a)=f(b)$，所以 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) = m$ 或 $f(\xi) = M$ 即 $x=\xi$ 是 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的极值点，由费马引理 $f'(\xi) = 0$

几种特殊情况：

若函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续且可导，并有 $\lim_{x\to a^+}f(x) = \lim_{x\to b^-}f(x) = c 或 \pm\infty$，则至少存在一个 $\xi\in(a,b)$，使得 $f'(\xi) = 0$
若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且可导，并有 $\lim_{x\to -\infty}f(x) = \lim_{x\to +\infty}f(x) = c 或 \pm\infty$，则至少存在一个 $\xi\in(-\infty,+\infty)$，使得 $f'(\xi) = 0$
若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续且可导，并有 $\lim_{x\to +\infty}f(x) = c 或 \pm\infty$，则至少存在一个$\xi\in(a,+\infty)$，使得 $f'(\xi) = 0$
若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,b]$ 上连续且可导，并有$\lim_{x\to -\infty}f(x) = c 或 \pm\infty$，则至少存在一个$\xi\in(-\infty,b]$，使得 $f'(\xi) = 0$

拉格朗日中值定理 #

几何意义：弧AB上至少有一点C，使点C处的切线平行于直线弦AB；罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例

设函数 $f(x)$ 满足，闭区间 $[a,b]$ 连续，开区间 $(a,b)$ 可导，则存在 $\xi \in(a,b)$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$

另外一种表示形式：$f(b)-f(a) = f'[a+(b-a)\theta](b-a)，(0<\theta<1)$

证明：
构造辅助函数，线段 $ab$ 对应函数 $L(x), L(x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) $
令 $\varphi(x) = f(x) - L(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) $
$\varphi(a)=\varphi(b)$，根据罗尔中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $\varphi'(\xi) = 0 $

$\varphi'(\xi) = f'(\xi) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0，即\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$

柯西中值定理 #

可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式，用于解决没法保证拉格朗日中值定理2个 $\xi$ 是同一个的问题，拉格朗日中值定理为 $g(x)$ 等于 $x$ 的特殊情况，为拉格朗日中值定理的推广；几何意义：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足闭区间 $[a,b]$ 皆连续，开区间 $(a,b)$ 皆可导；对于任意 $ x\in(a,b)，g'(x) \ne 0，g(a) \ne g(b) $，则存在$\xi \in(a,b)$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

证明：

不可基于拉格朗日中值定理证明，没法保证2个 $\xi$ 是同一个因 $g(a) \ne g(b)$，令 $L(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{g(a)-g(a)}g(x)$
根据罗尔中值定理，$\exists\xi\in(a,b)$ 使得 $L'(\xi)=0$，即： $ L'(\xi) = f'(\xi) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi) = 0 \because g'(\xi) \ne 0 \therefore \exists\xi\in(a,b) 使得 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $

罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理称为微分三大中值定理

为什么条件都是开区间连续，闭区间可导？
说法是否严谨层面的区别：端点处要么左极限不存在，要么右极限不存在，是不可导的，所以不能说在闭区间可导但为什么连续是闭区间呢，因为连续在左端点连续的意思是右连续，反之左连续

泰勒公式 #

泰勒公式是将一个在 $x=x_0$ 处具有 $n$ 阶导数的函数 $f(x)$ 利用关于$(x-x_0)$的n次多项式来逼近函数的方法，逼近的效果与多项式的阶数直接相关，通过各阶导数确定多项式的系数

泰勒公式的余项有两种主要形式：佩亚诺余项和拉格朗日余项

定性分析：佩亚诺余项

若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶导数均存在，则存在邻域 $U(x_0,\delta)$ ($\delta$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间) 使得 $f(x)$ 满足以下公式： $f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^k(x_0)(x-x_0)^k}{k!} + r_n(x)$

其中佩亚诺Peano余项 $r_n(x) = o((x-x_0)^n)(x\to x_0)$，表示函数在近似值与真实值之间的误差，余下的 $n$ 次多项式记为 $P_{n}$ 即 $x_{0}$处的n次泰勒Taylor多项式

定量分析：拉格朗日余项

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上存在n阶连续导数，在开区间 $(a,b)$ 上存在 $n + 1$ 阶导数，取一定点 $x_0 \in [a,b]$，则$\forall x \in [a,b]，f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^k(x_0)(x-x_0)^k}{k!} + r_n(x) $
其中拉格朗日Lagrange余项 $r_n(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$，其中 $\xi \in (x,x_0)，设x < x_0$

当n=0时，泰勒公式表现为拉格朗日中值定理的形式

麦克劳林公式 #

麦克劳林公式是在 $x=0$ 点处展开的泰勒公式

如果 $x_0 = 0$，那么未带有以上两种余项形式的 Taylor 公式又称为 Maclaurin 公式，此即
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) $
和
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} (0<\theta<1)$ 可以令 n +1 = k，只求到k阶导数

常用函数的麦克劳林公式的展开式如下：

$$ \begin{align} e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n} \\ (1+x)^a = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n \\ \end{align} $$

几个重要的低阶展开的麦克劳林公式：

$$ \begin{align} \sin 𝑥 = 𝑥 − \frac{𝑥^3}{3!}+𝑂(𝑥^3)，\arcsin 𝑥 = 𝑥 + \frac{𝑥^3}{3!} + 𝑂(𝑥^3) \\ \tan 𝑥 = 𝑥 + \frac{𝑥^3}{3} + 𝑂(𝑥^3)，\arctan 𝑥 = 𝑥 − \frac{𝑥^3}{3} +𝑂(𝑥3) \\ \cos 𝑥 = 1 − \frac{𝑥^2}{2!} + \frac{𝑥^4}{4!} + 𝑂(𝑥^4)，\arccos 𝑥 = \frac{\pi}{2} − 𝑥 − \frac{𝑥^3}{3!}−𝑂(𝑥^3) \\ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + 𝑂(𝑥^3) \\ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + 𝑂(𝑥^3) \\ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + O(x^2) \\ \end{align} $$

利用上述函数可以得到一组差函数的无穷小等价替换，例如：$x - sin \sim \frac{x^3}{6}$