三点 #
$$ \begin{align*} & 驻点：对一元函数 y=f(x)，若 f'(x_0)=0，则称 x_0 为驻点；\\ & 对二元函数 z=f(x,y)，若一阶偏导数 f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0，则称 (x_0,y_0)为驻点。\\ & 函数的驻点是函数一阶导数为零的点 \\ & \\ & 极值点：若在 x_0 的某去心邻域内，f(x) < f(x_0)(或 f(x) > f(x_0))，则称 x_0 为极大值点(或极小值点) \\ & \\ & 拐点：当函数 y=f(x) 通过点 (x_0,f(x_0)) 时，函数凹凸性发生改变则称点 (x_0,f(x_0)) 为函数的拐点。 \\ & 从函数二阶导数为零，但是三阶导数不为零的点或二阶导不存在的点中寻找 \\ & \\ & 结合 y=\sin x(x=\pi)，y=|x|，y=x^2 和 y=x^3 函数以及上述定义，理解三点之间的关系，如：\\ & 驻点不一定是极值点，极值点不一定是驻点，但若函数可导，极值点一定是驻点(费马引理) \end{align*} $$所以找极值点从驻点和定义域端点中寻找
凹凸 #
$$ \begin{align*} & 设 f(x )在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点x_1,x_2，恒有 \\ & f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \\ & 那么称f(x)在I上的图像是(向上)凹的；如果恒有 \\ & f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \\ & 那么称f(x)在I上的图像是(向下)凸的。 & \\ & 【注】在有些数学分析教材里凹凸性的定义是与高等数学同济版本相反的，考研大纲是按高等数学同济版来的。\\ & 其他形式：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，如果\forall x,x_0 \in (a,b)，x \ne x_0 恒有 \\ & f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) > (<) f(x)，则称f(x)在[a,b]上是凸(凹)的，理解画一条切线，函数在切线的上方(下方) \end{align*} $$- 函数在某区间内二阶导数大于 0，则该区间为函数的凹区间（曲线变化率不断变大）
- 函数在某区间内二阶导数小于 0，则该区间为函数的凸区间（曲线变化率不断变小）
渐近线 #
$$ \begin{align*} & 水平渐近线：\\ & 如果函数 f(x) 在 x 趋于无穷大时，\lim_{x\to\infty} f(x) = L，那么直线 y = L 称为函数 f(x) 的水平渐近线。\\ & 垂直渐近线：\\ & 如果函数 f(x) 在 x 趋于 a 时，\lim_{x\to a} f(x) = \infty，那么直线 x = a 称为函数 f(x) 的垂直渐近线。 \\ & 斜渐近线：\\ & 如果函数 f(x) 在 x 趋于无穷大时，\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = a，\lim_{x\to\infty} f(x) -ax = b，那么直线 y = ax+b 称为函数 f(x) 的斜渐近线。\\ \end{align*} $$切线/法线/曲率/弧微分 #
导数的几何意义本身就表示了在某点切线的斜率，函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数为 \(f'(x_0)\) 且不为0， 根据点斜式得切线为 \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)\)，对应法线为 \(y-f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\)
设平面曲线方程为\(F(x,y) = 0\)。它在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域内满足隐函数定理条件，则 \(f'(x) = - \frac{F_x}{F_y}\)
切线方程为：\(F'_y(y-y_0) + F'_x(x-x_0) = 0 \)
法线方程为：\(F'_x(y-y_0) - F'_y(x-x_0) = 0 \)
曲率代表曲线的弯曲程度，越高越弯曲，对应半径越小
曲率：\(k = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}\) ，一般求曲率需要通过参数方程
曲率半径：\(r = \frac{1}{k}\)
曲率圆：拟合曲线
弧微分是用一条线段的长度来近似代表一段弧的长度。设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内具有连续导数， 在曲线 \(y=f(x)\) 上取定点 \(M_0(x_0，f(x_0))\) 作为计算曲线弧长的基点，\(M(x，y)\) 是曲线上任意一点。
当 \(\Delta x\) 极小时，弧可以看作是一条直线，此时 \(\Delta x^2 + \Delta y^2=\Delta s^2\)，又\(\Delta y=y'*\Delta x\)，所以弧微分公式为： \( ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{1+y'^2}dx \)
参数方程形式： 曲线弧为
\[ \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \\ \end{cases} ，(a \leq t \leq b) \]其中 \(\varphi(t)\) 和 \(\psi(t)\) 在\([a,b]\)上具有连续导数
\( ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}dt \)
弧长 \(s = \int_a^b{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}dt} \)
极坐标(极点，\(x\) 正方向射线极轴，延极轴逆时针转动角度 \(\theta\) 以及点离极点的距离 \(r(\theta)\) 形式：
\[ r = r(\theta) \\ \begin{cases} x = \cos\theta r(\theta) \\ y = \sin\theta r(\theta) \\ \end{cases} （0 \leq \theta \leq 2\pi) \\ \] \[ ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{[r'(\theta)\cos\theta -\sin\theta r(\theta)]^2 + [r'(\theta)\sin\theta +\cos\theta r(\theta)]^2}d\theta = \sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}d\theta \\ \]弧长 \(s = \int_\alpha^\beta\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}d\theta\)
规定：
- 自变量 \(x\) 增大的方向为曲线的正向
- 当弧段 \(M_0M\) 的方向与曲线正向一致时，\(M_0M\) 的弧长 \(S>0\)；相反时，\(S<0\)