定义 #
若 \(F'(x) = f(x)\) 在区间 \(I\) 上成立，称 \(F(x)\)为\(f(x)\) 在区间 \(I\) 的原函数，\(f(x)\) 在区间 \(I\) 中的全体原函数称为 \(f(x)\) 在区间I中的不定积分，记为 \(\int f(x)dx\)，其中 \(\int\) 为积分号，\(x\) 为积分变量，\(f(x)\) 为被积函数，\(\int f(x)dx\) 为被积表达式。
若 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的一个原函数，则 \(\int f(x)dx = F(x) + C\)，其中 \(C\) 为任意常数，称为积分常数
求不定积分和求微分互为逆运算
- 已知 \(F(x)\)，求 \(dF(x) = f(x)dx\)
- 已知 \(f(x)dx\)，求 \(\int f(x)dx = F(x) + C\)
- \[ [\int f(x)dx]' = f(x), d\int f(x)dx = f(x)dx, \int F'(x)dx = F(x) + C，\int dF(x) = F(x) + C \]
简单性质
设 \(f(x)、g(x)\) 在区间 \(I\) 上存在原函数，则在区间 \(I\) 上：
\[ \begin{align} & \int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx; \int(f(x) - g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx \\ & \int kf(x)dx = k\int f(x)dx (k\ne0，k为常数) \\ & (\int f(x)dx)' = f(x) 或 \int dF(x) = F(x) + C \end{align} \]原函数存在定理：
- 如果 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，则 \(f(x)\) 在区间I上一定存在原函数；
- 如果 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间 \(I\) 内，一定不存在原函数；
- 如果 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间 \(I\) 内，原函数可能存在，也可能不存在。
初等函数的原函数不一定是初等函数，\(\int e^{-x^2}dx, \int \frac{\sin x}{x}d x, \int \frac{\cos x}{x} dx, \int \sin(x^2) dx, \int \cos(x^2) dx, \int \frac{1}{\ln x} dx\) 等均积不出来，即：被积函数存在原函数，但是原函数不是初等函数
几何意义：设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则由曲线 \(y=f(x)\)，\(x\) 轴及直线 \(x = a，x = x\) 围成的曲边梯形的面积函数是f(x)的一个原函数。若 \(x\) 为时间变量，\(f(x)\) 为直线运动物体的速度函数，则 \(f(x)\) 的原函数就是路程函数
基本积分公式 #
\[ \begin{align} \int0dx = C; \int x^kdx = \frac{1}{k+1}x^{k+1} + C (k \ne -1) \\ \int\frac{1}{x} dx = \ln|x| + C; \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C; \int e^x dx = e^x + C \\ \int\sin x dx = -\cos x + C; \int\cos x dx = \sin x + C \\ \int\tan x dx = -\ln|\cos x| + C; \int\cot x dx = \ln|\sin x| + C; \\ \int\sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C; \int\csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C; \\ \int\sec x\tan x dx = \sec x + C; \int\csc x\cot x dx = -\csc x + C; \\ \int shx dx = chx + C;\int chx dx = shx + C; \\ \int \frac{1}{\cos^2x} dx = \int\sec^2xdx = \tan x + C; \int \frac{1}{\sin^2x} dx = \int\csc^2xdx = -\cot x + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x + C; \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin \frac{x}{a} + C; \\ \int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x + C; \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}dx = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C; \\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C;\int \frac{1}{a^2-x^2}dx = \frac{1}{2a}\ln |\frac{a+x}{a-x}| + C; \end{align} \]计算 #
分项积分法 #
多项式的积分等于各个单项式的积分之和；分母为多项式，可将其化为简单分式再积分
\[ \begin{align} \int[f(x) + g(x) - h(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx - \int h(x)dx \\ \\ \int\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)}dx = \int \frac{A}{(x-a)} + \frac{B}{(x-b)} + \frac{C}{(x-c)} dx ，\\ 其中 A = \frac{f(x)}{(x-b)(x-c)}|_{x=a}，B = \frac{f(x)}{(x-a)(x-c)}|_{x=b}，C = \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}|_{x=c} \\ 分母表示排除当前保留剩下的 \\ \end{align} \] \[ \begin{align} 例 \quad \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \int \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x+a} dx，A = \frac{1}{2a}，B = -\frac{1}{2a} \\ \\ \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}(\int \frac{1}{x-a}dx - \int\frac{1}{x+a} dx) = \\ \frac{1}{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|) + C = \frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}| + C \end{align} \]换元法 #
第一类换元法： 设 \(f(x)\) 具有原函数 \(F(x)\)，\(u = \varphi(x)\) 可导，则有换元公式：
\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = [\int f(\varphi(x))d\varphi(x)] = [\int f(u)du] |_{u=\varphi(x)}= F(\varphi(x)) + C \]可以将其理解为凑微分
第二类换元法： 设 \(x = \varphi(t)，\varphi(t)\) 单调可导，且 \(\varphi'(t) \ne 0\)，又 \(f(\varphi(t))\varphi'(t)\) 有原函数，则有换元公式：
\[\int f(x)dx = [\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt]|_{t=\varphi^{-1}(x)}\]公式的成立是需要一定条件的，等式右边的不定积分要存在，即 \(f(\varphi(t))\varphi'(t)\) 有原函数； 用 \(x = \varphi(t)\) 的反函数 \(t=\varphi^{-1}(x)\) 代回去
分部积分法 #
设函数 \(u=u(x)\) 和 \(v=v(x)\) 连续且可导，则 \((uv)' = u'v + uv'\) 两边同时积分可得 \(\int uv'dx = uv - \int u'vdx\) 也可写作 \(\int u'v dx = uv - \int uv'dx\)