定义 #
定积分的结果是一个具体的数值，用于计算函数在特定区间上的累积效果，如面积、体积等；不定积分的结果是一个原函数族
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有定义，并且在该区间上连续，将该区间分为n个小区间：
\([x_0,x_1], [x_1,x_2], [x_2,x_3] ... , [x_{n-1},x_{n}]\)，
每个小区间的长度为\(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\)，选择每个小区间中的一个点 \(\xi_i\)
\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 的定积分为 \(\int_a^bf(x)dx = \lim_{\lambda\to0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\)，其中 \(\lambda = \max_{1\le x_i \le n}\Delta x_i\) 。\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 存在定积分，也称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可积。
【注】 定积分的值与积分变量的选取无关，只与被积函数与积分区间有关，例如 \(\int_a^bf(x)dx = \int_a^bf(t)dt \)
与不定积分的关系： 设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，\(\int f(x)dx = \int_{x_0}^xf(t)dt + C，x_0\in [a,b]\) 为定值
可积的充分条件：
- 设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积
- 设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在 \([a,b]\) 上可积
- 设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积
可积的必要条件：函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，则函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界
连续、可导、可微、可积的关系：
\[ 可导 \Leftrightarrow 可微，可导 \Rightarrow 连续，连续 \Rightarrow 可积 \quad 可积规定要在闭区间，所以可导一般可积 \]几何意义：
设f(x)在 \([a,b]\) 上连续, \(\int_a^bf(x)dx\) 在几何上表示界于 \(x\) 轴，曲线 \(y=f(x)\) 及直线 \(x = a, x = b\) 之间各部分面积的代数和，在 \(x\) 轴上方取正号，在 \(x\) 轴下方取负号
若为时间变量，为直线运动物体的速度函数，则 \(\int_a^bf(x)dx\) 就是物体从时刻 \(a\) 到时刻 \(b\) 所走的路程
基本性质：
$$ \begin{align} \int_a^bf(x)dx = - \int_b^af(x)dx，特别地，当a=b时，\int_a^bf(x)dx = 0 \\ \\ 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则： \\ \int_a^b[k_1f(x) \pm k_2g(x)]dx = k_1\int_a^bf(x)dx \pm k_2\int_a^bg(x)dx \\ \int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx + \int_c^bf(x)dx (c可以在[a,b]之外，f(x)在大区间可积) \end{align} $$牛顿-莱布尼茨公式 #
通常也被称为微积分基本定理，一种用被积函数的原函数来求定积分的方法，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系
\[ \begin{align} & 设f(x)在[a,b]上可积，令：F(x) = \int_a^xf(t)dt 则 \\ & (1) F(x)在[a,b]上连续 \\ & (2) 若f(x)在x_0 \in [a,b]处连续，则F在x_0处可导，且F'(x_0) = f(x_0) \\ & (3) 若f(x)在[a,b]连续，则F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。 \\ & 如果G(x)是f(x)的任意一个原函数，则有 \int_a^bf(x)dx = G(b) - G(a) \end{align} \]比较定理 #
设 \(a < b，f(x) \le g(x) (a \le x \le b)\)，则 \(\int_a^bf(x)dx \le \int_a^bg(x)dx \)
特别地，\(m(b-a) \le \int_a^bf(x)dx \le M(b-a)\)，(\(M，N\) 分别是 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的最大值和最小值)
积分中值定理 #
积分第一中值定理：
若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则在 \([a,b]\) 上至少存在一个点 \(\xi\)，使得
\(\int_a^bf(x)dx = f(\xi)(b-a) (a \le \xi \le b)\)
积分第二中值定理：
若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且 \(g(x)\) 是 \([a,b]\) 上的非负递减函数，则存在 \(\xi \in [a,b]\)，使得
\(\int_a^bf(x)g(x)dx = g(a)\int_a^{\xi}f(x)dx + g(b)\int_{\xi}^{b}f(x)dx\)