微元法（切分的对象）可以分析出应用场景下被积函数是什么

平面图形的面积 #

直角坐标系：
由曲线 \(y=f(x)(f(x) \ge 0)\) 及直线 \(x=a，x =b (a < b)\) 与 \(x\) 轴所围成的曲边梯形的面积S
\(S = \int_a^bf(x)dx\)

极坐标系：
由曲线 \(\rho = \varphi(\theta)\) 及射线 \(\theta = \alpha，\theta = \beta\) 围成的图形(曲边扇形)。\(\varphi(\theta)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上连续，且 \(\varphi'(\theta) \ge 0\) 这个曲边扇形的面积就可以表示成S
\(S=\int_\alpha^\beta\frac{1}{2}[\varphi(\theta)]^2d\theta\)

极坐标系下的扇形面积公式为 \(\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2 = \frac{1}{2}\theta r^2\)，扇形对应弧长为 \(l = \frac{\theta}{2\pi}\cdot 2\pi r = \theta r\)

参数方程：
设曲线C的参数方程为

\(\varphi(t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上有连续导数，且 \(\varphi'(t)\) 不变号，\(\psi(t) \ge 0\) 且连续，则曲边梯形的面积 S
\(S = \int_a^bydx = \int_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)dt\)

体积 #

旋转体(一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体)：
由连续曲线 \(y=f(x)\) 及直线 \(x=a, x=b (a < b) \) 与 \(x\) 轴所围成的曲边梯形
绕 \(x\) 轴旋转一周而成的立方体体积 \(V_x\)
\(V_x = \int_a^b\pi[f(x)]^2dx\)
绕 \(y\) 轴旋转一周而成的立方体体积 \(V_y\)
\(V_y = 2\pi\int_a^bxf(x)dx\)

平行截面面积已知的立体(已知该立体上垂直于一定轴，如 \(x\) 轴的各个截面面积)：
设该立体在过 \(x=a,x=b(a < b)\) 且垂直于 \(x\) 轴的两个平面之间，\(S(x)\) 是关于 \(x\) 的已知连续函数，表示过点 \(x\) 且垂直于\(x\) 轴的截面面积，则所求立体的体积 \(V = \int_a^bS(x)dx\)

旋转体侧面积 #

由连续曲线 \(y=f(x)\) 及直线 \(x=a，x=b(a < b)\) 与 \(x\) 轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而成的旋转体的侧面积为S
\(S = 2\pi\int_a^bf(x)ds = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx\)

平面曲线的弧长 #

直角坐标系：
曲线弧由直角坐标方程 \(y=f(x)(a \le x \le b)\) 给出，其中 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上具有一阶连续导数，则曲线弧长为
\(s = \int_a^b{\sqrt{1+f'^2(x)}}dx \)

极坐标系：
曲线弧由极坐标方程 \(r=r(\theta) (\alpha \le \theta \le \beta)\) 给出，其中 \(r=r(\theta)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上具有连续导数，则弧长公式为
\(s = \int_\alpha^\beta{\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta}, (ds = \sqrt{[r(\theta)d\theta]^2 + [dr(\theta)]^2} = \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta)\)

参数方程：
曲线弧由参数方程

给出，其中 \(\varphi(t)，\psi(t)\) 具有一阶连续导数，\(\varphi'^2(t) + \psi'^2(t) \ne 0\)，则曲线弧长为
\(s = \int_\alpha^\beta\sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)}dt\)