函数的四大性质

有界性 #

设 \(f(x)\) 的定义城为 \(D\)，区间 \(I \subset D\)。如果存在某个正数 \(M\)，使对 \(\forall x \in I\),有 \(|f(x)| \leq M\)，则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上有界；如果这样的 \(M\) 不存在，则称 \(f(x)\)在 \(I\)上无界。

【注】

  1. 有界还是无界的讨论，首先要指明区间 \(I\)，不指明区间，无法谈论有界性。比如 \(y=x^{-1}\)在\((2, +\infty)\)内有界，但在\((0,2)\)内无界
  2. 事实上，只要在区间 \(I\) 上存在点 \(x_0\)，使得函数 \(lim_{x \to x_0}f(x)\) 的值为无穷大，则没有任何两条直线 \(y=-M\) 和 \(y=M\) 可以把 \(I\) 上的 \(f(x)\) 包起来，这就叫无界

单调性 #

设 \(f(x)\) 的定义城为 \(D\)，区间 \(I \subset D\)。如果对于区间I上任意两点 \(x_1\)，\(x_2\)。当 \(x_1 \lt x_2\) 时，恒有 \(f(x_1) \lt f(x_2)\) 则称 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调增加；当 \(x_1 \lt x_2\) 时，恒有 \(f(x_1) \gt f(x_2)\) 时则称 \(f(x)\) 在区间\(I\)上单调减少。

【注】

  • 定义法的判别形式，对任何 \(x_1,x_2 \in D\)，\(x_1 \neq x_2\)，则
    • \(f(x)\) 是单调增函数 \(\Leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\)
    • \(f(x)\) 是单调减函数 \(\Leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0\)
    • \(f(x)\) 是单调不减函数 \(\Leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)] \geq 0\)
    • \(f(x)\) 是单调不增函数 \(\Leftrightarrow (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)] \leq 0\)

奇偶性 #

设 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称(即若 \(x \in D\)，则 \(-x \in D\))。如果对于 \(\forall -x \in D\)，恒有 \(f(-x)=f(x)\)，则称 \(f(x)\) 为偶函数；如果对于 \(\forall -x \in D\)，恒 \(f(-x)=- f(x)\)，则 \(f(x)\) 为奇函数。偶函数的图形关于 \(y\) 铀对称，奇函数的图形关于原点对称。

【注】

  1. 定义域关于原点对称的任意一个函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式

证明：设 \(f(x)\) 是定义在 \([-l,l]\) 上的任意函数，则 \(F_1(x)=f(x)-f(-x)\) 必为奇函数，\(F_2(x)=f(x)+f(-x)\) 必为偶函数。

显然 \(u(x)=\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]\) 是奇函数，\(v(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]\) 是偶函数，而 \(f(x)=u(x)+v(x)\)，证毕。

  1. 奇函数 \(y=f(x)\) 的函数图像关于原点对称，当 \(f(x)\)在 \(x=0\) 处有定义时，必有 \(f(0)=0\)

  2. 偶函数 \(y=f(x)\) 的函数图像关于 \(y\) 轴对称，且当 \(f'(0)\) 存在时，必有 \(f^{'}(0)=0\)

  3. 函数 \(y=f(x)\) 和函数 \(y=-f(x)\) 的图形关于 \(x\) 轴对称；函数 \(y=f(x)\) 和函数 \(y=f(-x)\) 的图形关于 \(y\) 轴对称；函数 \(y=f(x)\) 和函数 \(y=-f(-x)\) 的图形关于原点对称

  4. 函数 \(y=f(x)\) 的图像关于直线 \(x=T\) 对称的充分必要条件是 \(f(x)=f(2T-x)\) 或 \(f(x+T)=f(x-T)\)

周期性 #

设 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，如果存在一个正数 \(T\)，使得对于 \( \forall x \in D\)，有 \(x \pm T \in D，f(x+T)=f(x)\) 则称 \(f(x)\)为周期函数，\(T\) 称为 \(f(x)\) 的周期。从几何图形上看，在周期函数的定义域内，相邻两个长度为 \(T\) 的区间上，函数的图形完全一样。

重要结论 #

  1. 若 \(f(x)\) 是可导的偶函数，则 \(f'(x)\) 是奇函数；连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
  2. 若 \(f(x)\) 是可导的奇函数，则 \(f'(x)\) 是偶函数；连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数
  3. 若 \(f(x)\) 是可导的周期为 \(T\) 的周期函数，则 \(f'(x)\) 也是以 \(T\) 为周期的周期函数
  4. 若连续函数 \(f(x)\) 以 \(T\) 为周期且 \(\int_0^Tf(x)dx=0\)，则 \(f(x)\) 的一切原函数也以 \(T\) 为周期
  5. 若 \(f(x)\) 在有限区间 \((a,b)\) 内可导且 \(f'(x)\) 有界，则 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内有界(用导数的大小控制函数的大小，如果有限区间内导数有界，函数必有界)
Edit Edit this page