极限 #
定义 #
数列极限：
$$ 对\forall \varepsilon>0，\exists N>0，当n>N时，|a_n - A| < \varepsilon，则称A为数列a_n的极限，记为\lim_{n\to\infty}a_n = A $$自变量趋于有限值的极限：
$$ 对\forall \varepsilon>0，\exists \delta>0，当 0< |x - a| < \delta时，有|f(x) - A| < \varepsilon，则称A为f(x)当x \to a时的极限，记作\lim_{x\to a}f(x)=A $$自变量趋于无穷大的极限：
$$ 对\forall \varepsilon>0，\exists X>0，当 |x| > X时，有 |f(x) - A| < \varepsilon，则称A为f(x)当x \to \infty时的极限，记作\lim_{x\to \infty}f(x)=A $$ $$ 趋于-\infty时，适配修改为 x > -X，趋于+\infty时，适配修改为 x > X $$【注】
- \(\varepsilon, \text{epsilon}\) 是希腊字母，常用于表示极小值或接近于零的数；\(\delta, \text{delta}\) 也是希腊字母，是
\Delta的小写形式，常用于表示某个量的变化量 - 函数在一个点极限存在的充分必要条件是，函数在该点左极限和右极限存在且相等
- 若 \(\lim_{n\to\infty}a_n\) 存在，则 \(\lim_{n\to\infty}|a_n|\) 存在；反之，不对
- 极限通俗理解为，存在某去心邻域 \((0< |x - a| < \delta)\) 内函数无限逼近\(A\)，距离可以小于任意给定的 \(\varepsilon\)
性质 #
唯一性：
$$ 若极限存在，则极限一定是唯一的 $$保号性：
$$ \begin{align} \lim_{x\to\infty}f(x) = A > 0，则存在\delta >0，当 0 < |x -a| < \delta，有f(x) > 0；\\ 即函数极限正，则去心邻域正；函数极限负，则去心邻域负 \end{align} $$有界性：
$$ 极限存在，数列必有界；反之，不对。函数在某点的极限存在，则函数在其去心邻域内一定有界。\\ $$数列极限于子列极限的关系：
- 若数列极限存在，则该数列的任意子列存在相同的极限(充分必要条件，同时注意逆否命题的使用)；
- 若任意子列极限存在，则该数列极限不一定存在。 还需要相等，如数列 \(\{(-1)^n\}\) 的奇子列和偶子列
运算 #
运算法则： 前提条件极限存在，设 \(\lim f(x) = A，\lim g(x) = B\) 能拆的前提是极限存在
- \(\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm B \)
- \(\lim cf(x) = cA \)
- \(\lim[f(x)g(x)] = AB \)
- \(\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}，其中 B \ne 0 \)
- \(\lim(f(x)^n) = \lim(f(x))^n = A^n \)
复合函数： 如果函数 \(g(x)\) 在 \(x=a\) 处有极限\(L\)，函数 \(f(x)\) 在 \(x=L\) 处有极限 \(M\)，那么复合函数 \(z(x)=f(g(x)\) 在 \(x=a\) 处也有极限，且极限值等于 \(M\)。
\(\lim_{x \to a}z(x) = \lim_{x \to a}f(g(x)) = \lim_{g(x) \to L} f(g(x)) = \lim_{x \to L}f(x) = M \)
单调有界准则： 如果一个数列既是单调的（递增或递减）又有界，那么这个数列必定收敛，即存在极限。只能用于证明数列极限的存在性
夹逼准则： 如果 \(f(x), g(x), h(x)\) 满足：\(f(x) \le g(x) \le h(x)，且 \lim f(x) = \lim h(x) = A\)，那么
\[ \lim g(x)存在，且\lim g(x) = A \]【注】
- A可以为 \(\infty\)，视为一种特殊的存在
- 数列情况： 三数列\( \{x_n\},\{y_n\},\{z_n\} \)，满足 \( \lim_{n \to \infty}y_n=a,\lim_{n \to \infty}x_n=a \)，且从某项开始，即 \(n > n_0\) 时存在，\( y_n \le x_n \le z_n \)，则 数列 \(\{x_n\}\) 极限存在，且 \( \lim_{n \to \infty}x_n = a \)
常用不等式：
$$ \begin{align} a^2+b^2 \ge 2ab \\ |a|-|b| \le |a \pm b| \le |a| + |b| \\ \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \\ (调和平均数、几何平均数、算数平均数、平方平均数) \\ \\ 设a>b>0，则\begin{cases} n>0时，a^n > b^n \\ n<0时，a^n < b^n \end{cases} ，理解为指数函数 \\ \\ 若 0\lt a \lt x \lt b，0 \lt c \lt y \lt d，则 \frac{c}{b} \lt \frac{y}{x} \lt \frac{d}{a} ，理解为田忌赛马 \\ \\ \sin{x} \lt x \lt \tan{x} \quad (0\lt x\lt\frac{\pi}{2}) \\ \sin{x} \lt x \quad (x \gt 0) \\ \arctan{x} \le x \le \arcsin{x} \\ \\ e^x \ge x+ 1 \quad \ (\forall x) \\ x -1 \ge \ln x \quad (x > 0) 即 \ln x + 1 \le x \\ \frac{x}{x+1} \lt \ln(1+x) \lt x，x \gt 0 \\ \frac{1}{1+x} \lt \ln(1+\frac{1}{x}) \lt \frac{1}{x} \quad (x \gt 0) \\ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{n^2}< \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \quad (n\ge2, n \in \mathbb{N}_+) \\ \\ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = \sqrt{n} - \sqrt{n-1} \quad (n\ge1, n \in \mathbb{N}_+) \end{align} $$洛必达法则：
$$ \lim_{x \to a/\infty}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a/\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)} $$使用要求：
- \(\frac{0}{0}\) 型： \[ \begin{align} 1.当x \to a/\infty时，函数f(x)和F(x)都趋于零；\\ 2.f'(x)和F'(x)在点a的某个去心邻域内（或当x非常大时）存在，且F'(x) \ne 0 \\ 3.\lim_{x \to a/\infty}\frac{f(x)}{F(x)}存在或为无穷大 \end{align} \]
- \(\frac{\infty}{\infty}\) 型： \[ \begin{align} 1.当x \to a/\infty时，函数f(x)和F(x)都趋于无穷大；\\ 2.f'(x)和F'(x)在点a的某个去心邻域内（或当x非常大时）存在，且F'(x) \ne 0 \\ 3.\lim_{x \to a/\infty}\frac{f(x)}{F(x)}存在或为无穷大 \end{align} \]
不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量，是无法求导数的