连续定义 #
函数 \(f(x)\) 在点\(x_0\)某一领域内有定义，且有 \(\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)\)，则称\(f(x)\)在\(x_0\)处连续 函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则① \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上任意一点连续；②\(x=a\)处，右连续\(\lim_{x \to a^+}f(x) = f(a)\)；x=b处，左连续\(\lim_{x \to b^-}f(x) = f(b)\)
连续性质 #
- 所有初等函数在其定义区间都是连续的
- 两函数均在某点连续，二者进行四则运算后也在该点连续（除法时注意被除数不能为零）
- 两函数在某点连续，复合后仍在该点连续
- 某函数在某区间单调且连续 ，其反函数在对应区间连续且单调性不变
- 闭区间上连续函数的性质，有以下几个： $$ \begin{align*} (1) &\text{有界性定理：如果 } f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续，则 } f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上必有界} \\ (2) &\text{最值定理：如果 } f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续，则 } f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上必存在最大值 } M \text{ 和最小值 } m \\ (3) &\text{介值定理(Intermediate Value)：如果 } f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续，且其最大值 } M \text{ 和最小值 } m \text{ 存在，则} \\ &\text{ 对于介于 } m \text{ 和 } M \text{ 之间的任何实数 } c, \text{ 在 } [a,b] \text{ 上至少存在一点 } \xi, \text{ 使得 } f(\xi) = c \\ (4) &\text{零点存在定理：如果 } f(x) \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续，且 } f(a) \text{ 和 } f(b) \text{ 异号，则} \\ &\text{ 在 } (a,b) \text{ 内至少存在一点 } \xi, \text{ 使得 } f(\xi) = 0 \end{align*} $$
间断点 #
$$ 若\lim_{x \to a} \ne f(a)，称 x=a 为 f(x)的间断点 \\ $$第一类间断点：左右极限都存在
- 可去间断点：左右极限相等 $$ x = 1 为函数 y = \frac{x^2-1}{x-1}的可去间断点，\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} = 2 $$
- 跳跃间断点：左右极限不相等 $$ x = 0 为函数 f(x) = \begin{cases} x - 1 &, x < 0 \\ 0 &, x = 0 \\ x + 1 &, x > 0 \end{cases} 的跳跃间断点 $$
第二类间断点：左右极限至少一个不存在
无穷间断点：左右极限至少有一个无穷大
$$ x = \frac{\pi}{2} 为函数 \tan x的无穷间断点 $$振荡间断点：极限振荡不存在，函数值在区间之间变动无限多次
$$ y = \sin\frac{1}{x}，在x=0处没有定义，且x \to 0时，函数在-1 和 1 之间振荡 $$
无穷小 #
等价无穷小
$$ \begin{align*} & \sin(x) \sim x \sim \tan(x) \sim \arctan(x) \sim e^x-1 \sim \ln(1+x) \\ & 1-\cos(x) \sim \frac{1}{2}x^2 \quad 1-\cos^a(x) \sim \frac{a}{2}x^2 \\ & \tan(x)-x \sim x-\arctan(x) \sim \frac{1}{3}x^3 \quad x-\sin(x) \sim \arcsin(x)-x \sim \frac{1}{6}x^3 \\ & (1+x)^a-1 \sim ax \quad a^x-1 \sim xln(a) \quad \text{for } a > 0, a \neq 1 \\ & x^m+x^k \sim x^m \quad \text{for } k > m > 0 \end{align*} $$无穷小性质：
- 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
- 常数与无穷小的乘积是无穷小
- 有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小
其他 #
二项式定理
表达了两个数之和的n次幂的展开式
其中每个
立方和/差
$$ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \\ $$n平方求和
$$ 1^2 + 2^2 + 3^3 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $$