一般方程
\[ \begin{cases} A_1x + B_1y +C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y +C_2z + D_2 = 0 \end{cases} \]直线方向向量 \(s = (A_1,B_1,C_1)\times(A_2,B_2,C_2)\)
对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫这条直线的方向向量。\(s = (m,n,p)\) \(\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}\)
参数方程
\[ x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \]两点式 \(\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
两直线夹角
两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)叫做两直线的夹角
直线\(L_1\)和直线\(L_2\)的夹角 \(\varphi\)：\(\cos\varphi = \frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}\)
两直线\(L_1\)和\(L_2\)互相垂直：\(m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2 = 0\)
两直线\(L_1\)和\(L_2\)互相平行或重合：\(\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{p_1}{p_2}\)
直线与平面夹角
直线与平面的夹角定义为：直线和它在平面上的投影直线的夹角 \(\varphi(0\le\varphi\le\frac{\pi}{2})\)
若直线的一个方向向量为 \(s =(m,n,p)\)，平面的一个法向量为 \(n=(A,B,C)\)，则直线与平面的夹角正弦的求解公式为：
\(\sin\varphi = \cos(\frac{\pi}{2} - \varphi) = \frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}}} \)
\[ \begin{align} & (1)直线\perp平面 \Leftrightarrow s // n \Leftrightarrow \frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p}，直线垂直平面内任意直线 \\ & (2)直线//平面 或 直线在平面上 \Leftrightarrow s \perp n \Leftrightarrow Am+Bn+Cp =0 \end{align} \]
平面束：空间中通过同一直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，那条直线叫做平面束的轴
\[ \begin{cases} A_1x + B_1y +C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y +C_2z + D_2 = 0 \\ \end{cases} \\ \]要求 \(A_1,B_1,C_1\) 和 \(A_2,B_2,C_2\) 不成比例，则平面束方程： \(\lambda(A_1x + B_1y +C_1z + D_1) + \mu(A_2x + B_2y +C_2z + D_2) = 0\)
特别地，取 \(\lambda=1\) 时，上述方程表示除了平面 \(A_2x + B_2y +C_2z + D_2=0\) 之外的过直线 \(L\) 的平面束