可分离变量微分方程 #
形式
\[ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y), g(y) \ne 0 \]分离变量
\[ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx \]两边积分，化简即得通解
\[ \int{\frac{dy}{g(y)}} = \int{f(x)dx} \]例1
\[ \tan x \frac{dy}{dx} = 1 + y \]解：
\[ \begin{align} & \frac{dy}{1+y} = \frac{dx}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}dx \\ & \ln|1+y| = \ln|\sin x| + \ln C \\ & 1+y = C\sin x (C \ne 0) \end{align} \]另，\( y = -1\)也是上述方程的解，所以
\[ y = C\sin x - 1，C为任意常数 \]齐次微分方程 #
齐次微分方程形式：
\[ \frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x}) \]变量替换法，设 \( v = \frac{y}{x} \Rightarrow y = vx \)，两边对 \(x\) 求导
\[ \begin{align} & v + x\frac{dv}{dx} = \varphi(\frac{y}{x}) \\ & \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \cdot (\varphi(v) - v) \end{align} \]转换为可分离变量微分方程
等价形式：
\[ \mathrm{P}(x, y)\, \mathrm{d}x + \mathrm{Q}(x, y)\, \mathrm{d}y = 0 \]设函数 \(P(x,y),Q(x,y)\) 都是 \(x,y\) 的同次(例如 \(r\) 次)齐次函数，根据齐次函数定义，并令\( \lambda = \frac{1}{x}, x \ne 0 \)，我们有
\[ \left\{ \begin{aligned} \mathrm{P}(\lambda x, \lambda y) &= \lambda^r \mathrm{P}\left(x, y\right) \Rightarrow \mathrm{P}\left(x, y\right) = x^r \mathrm{P}\left(1, \frac{y}{x}\right)\\ \mathrm{Q}(\lambda x, \lambda y) &= \lambda^r \mathrm{Q}\left(x, y\right) \Rightarrow \mathrm{Q}\left(x, y\right) = x^r \mathrm{Q}\left(1, \frac{y}{x}\right)\\ \end{aligned} \right. \] \[ \begin{align} 带入，\mathrm{P}(x, y)\, \mathrm{d}x + \mathrm{Q}(x, y)\, \mathrm{d}y & = 0 ，中得，\\ x^r \mathrm{P}\left(1, \frac{y}{x}\right) dx + x^r \mathrm{Q}\left(1, \frac{y}{x}\right) dy & = 0，整理可得 \\ \frac{dy}{dx} = - \frac{\mathrm{P}\left(1, \frac{y}{x}\right)}{\mathrm{Q}\left(1, \frac{y}{x}\right)} = \varphi(\frac{y}{x}) \end{align} \]
“齐次”一词对应的英文单词为homogeneus表示“同种类型，同种性质，或者同类的任何其它事物”，汉译名“齐次”不明确，表现看起来具备“相同次数”，但是并不反应本质。齐次微分方程中的齐次二字来源于齐次函数(
\[ f(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^r f(x_1, \ldots, x_n) \]homogeneous functions)的定义，先介绍齐次函数，若对于任意非零\(\lambda\)，满足，其中 \(r\) 是一个整数，则称函数 \(f\) 是 \(r\) 次齐次函数。
齐次函数的变量按某个比例因子增加，则其函数变成这个比例因子的某个幂的倍数。这里的
“齐次”的含义是新函数和原函数拥有“按相同比例增加”的这个共同特征。
例2
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\left(\frac{y}{x}\right), \quad y(1) = \frac{\pi}{6} \]解：变量替换法，设 \( v = \frac{y}{x} \Rightarrow y = vx \)，两边对 \(x\) 求导，
\[ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \]，代入原微分方程得
\[ v + x\frac{dv}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\left(\frac{y}{x}\right) \]，化简
\[ x\frac{dv}{dx} = \tan v，即 \frac{1}{x}dx = \frac{1}{\tan v} dv \]，两边积分
\[ \int\frac{1}{x}dx = \frac{1}{\tan v} dv \Rightarrow \ln|\sin{v}| = \ln|x| + \ln{C} \]，所以
\[ \sin\frac{y}{x} = Cx \]，代入初始条件 \(y(1) = \frac{\pi}{6}\)，
\[ \sin\frac{\pi}{6} = C \Rightarrow C = \frac{1}{2} \]，所以特解为
\[ \sin\frac{y}{x} = \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{y}{x} = \arcsin{\frac{x}{2}} \Rightarrow y = x \cdot \arcsin{\frac{x}{2}}，|x| < 2 \]一阶线性微分方程 #
形如
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]的方程称为一阶线性微分方程(First-order linear differential equation)，其线性特点是未知函数 \(y\) 和它的一阶导数都是一次的。如果 \(Q(x) = 0\) 称为齐次线性方程，\(Q(x) \ne 0\) 称为非齐次线性方程。
此处的
“齐次”含义类似如下齐次线性方程组的含义，表示微分方程中所有非零项都包含有未知函数（或其导数），类似如下“待解未知数”，\(P(x) Q(x)\)这些可以理解为任意常数。一个齐次线性方程组就是指形如 \(AX = 0\) 的线性方程组，其中，\(A\) 是一个系数矩阵，而 \(X\) 是变量向量，称其为齐次，是因为方程组的所有常数项都是0。因此，余下的每一项都含有未知数，在这种意义上来说，余下的项都具有“待解未知数”这个“共同的类型”，这便是其
“齐次”的含义。
齐次线性微分方程：
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -P(x){dx} \]是可分离变量的，两边积分，
\[ \ln|y| = -\int{P(x)dx} + C_1 \]或
\[ y = Ce^{-\int{P(x)dx}} \quad (C = \pm e^{C_1}) \]非齐次线性微分方程：
常用的方法是常数变易法(variation of constant)和积分因子法(integrating factor)
常数变易法： 将齐次方程解中的常数变为一个关于 \(x\) 的函数，
\[ y = C(x)e^{-\int P(x)dx} \]，代回原方程
\[ \begin{align} & \frac{dy}{dx} = C'(x)e^{-\int P(x)dx} - C(x)P(x)e^{-\int P(x)dx} \\ & C'(x)e^{-\int P(x)dx} - C(x)P(x)e^{-\int P(x)dx} + C(x)P(x)e^{-\int P(x)dx} = Q(x) \\ \end{align} \]，得到
\[ C(x) = Q(x)\int{e^{\int{P(x)dx}}}dx + C \]，于是方程的解为：
\[ y = Ce^{-\int P(x)dx} + e^{-\int P(x)dx}\int{Q(x){e^{\int{P(x)dx}}}}dx \]为什么将C变为C(x)请参看：https://blog.csdn.net/weixin_45827703/article/details/104833702
积分因子法：
方程左边部分可以构造如下等式（乘以 \(\mu(x)\)）：
\[ \mu(x)(y'+P(x)y) = (\mu(x)y)', \mu(x) = e^{\int{P(x)dx}} \]\(\mu(x) = e^{\int{P(x)dx}} \) 叫做积分因子(integrating factor)
伯努利方程 #
形如
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n, 且n不等于0或者1. \]的微分方程称为伯努利方程(Bernoulli differential equation)，当 \(n=0，1\) 时该方程是线性微分方程。
方程两端同除以 \(y^n\) 得，
\[ \begin{align} y^{-n}\frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x) \\ \frac{1}{1-n} \cdot (y^{1-n})' + P(x)y^{1-n} = Q(x) \end{align} \]引入变量 \(u=y^{1-n}\)，
\[ \begin{align} \frac{du}{dx}\cdot\frac{1}{1-n} + P(x)u = Q(x) \\ \frac{du}{dx} + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x) \end{align} \]这是以 \(u\) 为未知函数的一阶线性微分方程，由此方程解出 \(u\)，再由可得伯努利微分方程的解。
\[ y^{1-n} = e^{-\int(1-n)P(x)dx}(\int{Q(x)(1-n)e^{\int{(1-n)P(x)dx}}}dx + C) \]例3 求方程 \( \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = a(lnx)y^2 \)
解 令 \( u = y^{-1} \)，则方程变形为
\[ \frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = -a\ln{x} \]，其通解为
\[ u = e^{\int\frac{1}{x}dx}(\int{-a\ln{x}e^{\int{\frac{1}{x}dx}}}dx + C) = x[\int(-a\ln{x}\cdot \frac{1}{x})dx+C] = x(-\frac{a}{2}\ln{x}^2+C) \]将 \( u = y^{-1} \) 代入，得
\[ yx[C-\frac{a}{2}\ln{x}^2] = 1 \]全微分方程 #
凑微分法