一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶。

二阶可降阶微分方程 #

不含有函数 \(y\) 本身的二阶方程：\(y'' = f(x, y')\)，令 \(u=y'\)，则\(u'=f(x,u)\)降为一阶

不含有变量 \(x\) 本身的二阶方程：\(y'' = f(y, y')\)，令 \(u=y'=\frac{dy}{dx}\)，

，则 \(y'' = f(y, y')\) 可改写为 \(\frac{du}{dy}u = f(y,u)\)降为一阶

二阶常系数微分方程 #

方程

称为二阶常系数齐次线性微分方程。

特征方程为 \(r^2 + pr + q = 0\)，判别\(\Delta = p^2 - 4q\)，\(r_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}\)：

1. \(\Delta>0\)，特征方程两个不相等的实根 \(r1,r2\)，通解方程为 \(y(x) = C_1e^{r1x}+C_2e^{r2x}\)
2. \(\Delta=0\)，特征方程两个相等的实根 \(r1,r2\)，通解方程为 \(y(x) = (C_1+C_2x)e^{r1x}\)
3. \(\Delta<0\)，特征方程一对共轭复根 \(\alpha \pm \beta i\)，通解方程为 \(y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)\)