皮埃尔·德·费马（法语：Pierre de Fermat，1601年—1665年1月12日），法国律师、业余数学家（也被称为数学大师、业余数学家之王）。他在数学上的成就不低于职业数学家。
费马不常正式发表他的研究，死后其子才将之整理成书，名为《Varia Opera》。他的名言是：“我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来。”
费马大定理 Fermat’s Last Theorem #
毕达哥拉斯三元组 \( x^2 + y^2 = z^2 \) 有无穷多整数解，人们自然好奇：能不能推广到更高次方？比如三次方、四次方。早在 900 年代末，数学家 Al-Khodjandi 就声称自己证明了“立方数不能是两个立方数的和”。不过后世只从别的文献知道这个说法，真正的证明已经遗失，可信度不高。
费马的儿子 Samuel Fermat 在费马去世后出版了带父亲注解的版本，真正让这个问题出名。1637年他在丢番图《算术》的一页空白上写下：当 \( n \ge 3 时\)，方程 \(x^n + y^n = z^n\) 没有正整数解。我有一个绝妙的证明，但页边太小写不下。学界普遍认为费马真正有过证明的，只有 \( n = 4\)。
从1637年费马在丢番图《算术》的页边写下命题，到1995年 Andrew Wiles 完整无误地证明了费马大定理，跨越了358年。
定理表述非常简洁，几乎像小学生作业题：
对任意整数 \( n \gt 2 \)，方程
\[ x^n + y^n = z^n \]在整数 \( x,y,z \) 中没有非零解。
这里有几个关键点：
- 当 \(n=2\) 时，毕达哥拉斯三元组（比如 \(3^2 + 4^2 = 5^2\)）是存在解的。
- 要求 \( x,y,z \ne 0\)。如果允许零，那显然有平凡解(trivial solution)，比如 \( x=0, y=z\)
- 必须是整数，而不是分数、小数或复数。在有理数、实数甚至复数里方程是有大量解的。
费马小定理 Fermat’s Little Theorem #
如果p是质数，且a是一个整数，那么：
\[ a^p \equiv a \mod{p} \]特例：如果 a 与 p 互素，那么：
\[ a^{p-1} \equiv 1 \mod{p} \]欧拉 (Leonhard Euler) 在 18 世纪真正给出了第一个系统的证明。欧拉想为什么一定要质数呢？只要 a 和模数互素，应该也能得到类似的结论吧。
欧拉把结论推广成了欧拉定理，将适用范围从质数模数p推广到了任意正整数模数n：如果 \(gcd(a,n)=1\)，则
\[ a ^ \varphi(n) \equiv 1 \mod{p} \]其中 \( \varphi(n) \) 是欧拉函数（Euler’s totient function），表示小于 n 且与 n 互素的数的个数。如 n = 5，则 \( \varphi(n) = 5 - 1 = 4 \)